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拉格朗日恒等式：

计算两个向量夹平行四边形的面积

$$\| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \sum_{1 \le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2 \\ \quad \text{where} \quad (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 \cos^2 \theta$$

即对于任意维度的两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，可以通过$\sqrt{\| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}$计算出两个向量夹平行四边形的面积，在面积分求面积微元时很好用。

Extra

在$n$维空间里，通过$m$个参数可以唯一确定一个$m$维流形（e.g. $n=3,m=2$时，我们通过两个参数$u,v$在三维空间($x(u,v),y(u,v),z(u,v)$)中唯一确定一个二维流形，即曲面）。

这一$m$维流形的超体积微元的平方等于：所有$\binom{n}{m}$种在$n$个维度中任选$m$个维度，将微元投影到这些维度上的超体积的平方和。具体地，设微分矩阵 $\mathbf{J}$（其中 $\mathbf{J}_{i,j}=\frac{\partial x_i}{\partial u_j}$），则超体积微元$\mathrm{d}S=\sqrt{K}\mathrm{d}u_1\mathrm{d}u_2\cdots\mathrm{d}u_m$，其中$K$是$\mathbf{J}$中所有$m\times m$子矩阵的行列式的平方和。

例如，在$n=3,m=2$时，$\mathbf{J}=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{pmatrix}$，则$K=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix}^2$

拉格朗日恒等式的面积项$\sum\limits_{1 \le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2$等同于在$m=2$时累加所有子行列式的平方和。

曲率是衡量曲线在某一点弯曲程度的值。具体地,曲率的定义为某一点处，单位位移距离，切线角度的变化率，即$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$。

曲率的倒数为曲率半径，即$R = \frac{1}{\kappa}$，代表在该点和曲线相切的圆的半径。

对于参数方程曲线$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其曲率的计算公式为$\kappa = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}$，以下是推导：

令速度向量为$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$，则加速度向量为$\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t)$。

速度向量=速率*切线单位向量，即$\mathbf{v}(t) = \mathbf{V}\mathbf{T}(t)$，其中$\mathbf{T}(t)$为切线单位向量，$\mathbf{V}$为速率。

对速度向量求导，得到加速度向量$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}\frac{d\mathbf{T}}{dt}$,其中$\frac{d\mathbf{V}}{dt}$为切向加速度，$\mathbf{V}\frac{d\mathbf{T}}{dt}$为法向加速度。切向加速度影响速率变化的大小，法向加速度影响速率变化的方向。

根据曲率的定义，有$d\mathbf{T} = \mathbf{N}d\theta = \kappa \mathbf{N} ds$，其中$\mathbf{N}$为法线单位向量。这是因为单位向量转动时，方向为法线方向，位移长度为转动的角度。

基于上述，有$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}\kappa \mathbf{N} \frac{ds}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}^2\kappa \mathbf{N}$

由于切向和法向加速度向量正交，因此我们可以对$\mathbf{a}(t)$叉乘$\mathbf{T}$

$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{T} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} \times \mathbf{T} + \mathbf{V}\kappa \mathbf{N} \frac{ds}{dt} \times \mathbf{T} = \mathbf{V}^2\kappa \mathbf{N} \times \mathbf{T}$

由于相互垂直的单位向量叉乘为1，平行的向量叉乘为0，因此有：
$\kappa = \frac{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{T}}{\mathbf{V}^2}=\frac{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{v}(t)}{\mathbf{V}^3}=\frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}$

留下些文字，作为我曾经存在过的证明。

随想

$$\begin{aligned} \iint_R f(x,y)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(R,\theta)}\right|\,\mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \\ &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta))\left| \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial R} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial R} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} \right|\,\mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \\ &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta))\left| \begin{vmatrix} a\cos(\theta) & -aR\sin(\theta) \\ b\sin(\theta) & bR\cos(\theta) \end{vmatrix} \right|\,\mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \\ &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta))\left| (a\cos(\theta))(bR\cos(\theta)) - (-aR\sin(\theta))(b\sin(\theta)) \right|\,\mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \\ &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta))\left| abR\cos^2(\theta) + abR\sin^2(\theta) \right|\,\mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \\ &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta))\left| abR(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) \right|\,\mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \\ &= \iint_S f(aR\cos(\theta),bR\sin(\theta)) abR \, \mathrm{d} R\,\mathrm{d} \theta \quad (\text{假设 } a,b,R \ge 0) \end{aligned}$$

这里可以理解为坐标轴改变，即假设以($\theta,R$)为新坐标轴，原先的$x,y$就变成了$\partial x,\partial y$的新坐标，新的面积即为他们的叉乘（即二阶行列式）

当函数$f(x)$满足$\forall a\leq x \leq b,f(x)=f(a+b-x)$(即积分区间内函数对称)时，有

$$\begin{aligned} \int_a^b xf(x)\,\mathrm{d} x &=\int_a^b(a+b-x)f(x)\,\mathrm{d} x\\ &=\frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d} x \\ \text{e.g.} \quad \int_{0}^{\pi} x\sin(x)\,\mathrm{d} x &=\frac{\pi}{2}\int_{0}^\pi \sin(x)\,\mathrm{d} x \end{aligned}$$

没有包袱的一场XCPC（虽然是打星）…
彻底蜕变为旅游选手啦~

数学公式渲染测试

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=x^0+x^1+x^2+\cdots$$

$$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{x^1}{1}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$

泰勒展开公式

$$f(x)在k处展开：f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(k)}{n!}(x-k)^n$$

$$e.g. \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^{(n)}0}{n!}x^n$$

4n+1阶导为1，4n+3阶导为-1，2n阶导为0.