多元函数微分

以二元函数$f(x,y)$为例，设$\Delta x\to0,\Delta y\to 0$为增量
偏导数为只沿着一个方向的导数，即可以将其他变量视为常数，原函数变为这个位置上的单元函数。
可微可以简单理解成在该点往任何方向进行小的位移，函数变化量接近于偏导数的对应变化量。
即$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f'_x\Delta x+f'_y\Delta y+o(\rho)$。

考虑函数$f(x,y)$只在$x$和$y$至少有一个为$0$时为$1$，其他时候是$0$。其在$(0,0)$处存在偏导数，但不连续。以绝对值函数为代表的连续函数在0处不可导，因此存在偏导数和连续无任何关系。
$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]$
即当且仅当$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)+o(\rho)$时原函数在$(x,y)$可微。
如果偏导数连续，则上述显然正确。
即：偏导数连续可以推出可微，可微可以推出连续+偏导数存在，剩下两个互不相干。

extra：
一个显然的，连续+偏导数存在，但不可微的例子
$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$在$(0,0)$的偏导数均为0且连续，但在不同方向上的斜率不同。