curvature

曲率是衡量曲线在某一点弯曲程度的值。具体地,曲率的定义为某一点处，单位位移距离，切线角度的变化率，即$\kappa = \frac{d\theta}{ds}$。

曲率的倒数为曲率半径，即$R = \frac{1}{\kappa}$，代表在该点和曲线相切的圆的半径。

对于参数方程曲线$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其曲率的计算公式为$\kappa = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}$，以下是推导：

令速度向量为$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$，则加速度向量为$\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t)$。

速度向量=速率*切线单位向量，即$\mathbf{v}(t) = \mathbf{V}\mathbf{T}(t)$，其中$\mathbf{T}(t)$为切线单位向量，$\mathbf{V}$为速率。

对速度向量求导，得到加速度向量$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}\frac{d\mathbf{T}}{dt}$,其中$\frac{d\mathbf{V}}{dt}$为切向加速度，$\mathbf{V}\frac{d\mathbf{T}}{dt}$为法向加速度。切向加速度影响速率变化的大小，法向加速度影响速率变化的方向。

根据曲率的定义，有$d\mathbf{T} = \mathbf{N}d\theta = \kappa \mathbf{N} ds$，其中$\mathbf{N}$为法线单位向量。这是因为单位向量转动时，方向为法线方向，位移长度为转动的角度。

基于上述，有$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}\kappa \mathbf{N} \frac{ds}{dt} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} + \mathbf{V}^2\kappa \mathbf{N}$

由于切向和法向加速度向量正交，因此我们可以对$\mathbf{a}(t)$叉乘$\mathbf{T}$

$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{T} = \frac{d\mathbf{V}}{dt}\mathbf{T} \times \mathbf{T} + \mathbf{V}\kappa \mathbf{N} \frac{ds}{dt} \times \mathbf{T} = \mathbf{V}^2\kappa \mathbf{N} \times \mathbf{T}$

由于相互垂直的单位向量叉乘为1，平行的向量叉乘为0，因此有：
$\kappa = \frac{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{T}}{\mathbf{V}^2}=\frac{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{v}(t)}{\mathbf{V}^3}=\frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}$