积分随记

拉格朗日恒等式：

计算两个向量夹平行四边形的面积

$$\| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \sum_{1 \le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2 \\ \quad \text{where} \quad (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 \cos^2 \theta$$

即对于任意维度的两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，可以通过$\sqrt{\| \mathbf{a} \|^2 \| \mathbf{b} \|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}$计算出两个向量夹平行四边形的面积，在面积分求面积微元时很好用。

Extra

在$n$维空间里，通过$m$个参数可以唯一确定一个$m$维流形（e.g. $n=3,m=2$时，我们通过两个参数$u,v$在三维空间($x(u,v),y(u,v),z(u,v)$)中唯一确定一个二维流形，即曲面）。

这一$m$维流形的超体积微元的平方等于：所有$\binom{n}{m}$种在$n$个维度中任选$m$个维度，将微元投影到这些维度上的超体积的平方和。具体地，设微分矩阵 $\mathbf{J}$（其中 $\mathbf{J}_{i,j}=\frac{\partial x_i}{\partial u_j}$），则超体积微元$\mathrm{d}S=\sqrt{K}\mathrm{d}u_1\mathrm{d}u_2\cdots\mathrm{d}u_m$，其中$K$是$\mathbf{J}$中所有$m\times m$子矩阵的行列式的平方和。

例如，在$n=3,m=2$时，$\mathbf{J}=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{pmatrix}$，则$K=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix}^2$

拉格朗日恒等式的面积项$\sum\limits_{1 \le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2$等同于在$m=2$时累加所有子行列式的平方和。